Работодатель хочет прописать в трудовом договоре, что зарплата выплачивается во второй и четвертый вторник месяца. Вправе ли он так сделать?

Нет, не вправе.

Специалисты Роструда напомнили, что в правилах внутреннего трудового распорядка, коллективном или трудовом договоре должны быть указаны конкретные даты выплаты зарплаты. Например, 5-е и 20-е число месяца. А дни недели конкретными датами не являются.

Источник: Онлайнинспекция.рф